请证明算术在逻辑上的一致性。这个问题一旦证明，就将保证高等数学许多内容的一致性。就本质而言，这个证明所能保证的是这一点：不可能证明一等于二。认为这个问题具有重大意义的数学家寥寥无几。

５a

法布里希还没有开口，雷内就知道他要说什么了。

简直是我见过的最要命的东西。还不大会走路的幼儿玩的玩具是把不同断面的积木嵌进不同形状的槽子，你知道吗？读你的形式体系，就好像观看一个人把一块积木滑进木板上的每一个洞里，每一次都做得天衣无缝。

这么说来，你发现不了错误？

他摇摇头。发现不了。我滑进了和你相同的套路：只能用你的方法思考这个问题。

雷内却已经不在老套路上了：她另辟蹊径，想出了一条截然不同的路子来解决这个问题，但却仅仅证明了原先的体系确实存在矛盾。不过，还是谢谢你费心了。

你要另外找人看一看吗？

是的。我想我要寄给伯克利的卡拉汉看。自去年春天那次会议以来，我们一直保持着联系。

法布里希点了点头，他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果他发现了问题，请一定告诉我。我感到很好奇。

雷内宁愿用比好奇更强烈的字眼来表达她自己的心情。

５b

雷内对自己的研究感到绝望了吗？卡尔知道她从来不觉得数学真的困难，而只是一种智力挑战。难道是她第一次遇到无法突破的难题吗？或者说，数学本身就是无解的吗？严格说来，卡尔自己是一个实验主义者，并不真正懂得雷内怎么创造新的数学体系。虽说听上去有点傻，但是她是灵感枯竭了吗？

雷内是成年人，不会像神童那样，发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。

似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯悴是对自己的工作感到厌倦了吗？

卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。

６

１９３１年，库特哥德尔⑥证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是真实的、但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包括精确，有意义，而且似乎真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。

他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出１=２这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。

６a

卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌跟前，抬头看他。他鼓起勇气说：雷内，显然是

她打断她的话，你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。说着雷内便拿出一张白纸，坐在书桌跟前，等一下，这需要一点时间。卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。

她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一行的顶部写下数字１，另一行的顶部写下数字２。接着在这两个数字下面迅速潦草地画一些符号，又在这些符号下面的行列里把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。

写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号减少成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己在纸上用力过重了，下意识地放松握在手中的铅笔。在她下面写出的那一行上，符号串变成相等了。接着，她重重地写了个=号，横过纸的底部中心线。

她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。看一看顶部吧。他照办了，再看一看底部。